La R5 Gordini n'est autre qu'une Renault 5 Alpine, destinée au marché anglais. Elle a été présentée en 1978 au British Motor Show et mise officiellement en vente le 4 avril 1979.
Le nom "Alpine" n'a pas pu être utilisé pour la commercialisation car c'est Chrysler Europe qui en détenait les droits au Royaume Unis, et venait de l'introduire sur la Chrysler Alpine (une version britanique de la Simca 1307).
L'appellation Gordini fait référence à Amédée Gordoni, pilote et constructeur de voiture de sport français proche de Renault.